1 \documentclass{article}
2 \usepackage{fullpage}
3 \usepackage{amsmath}
4 \author{Kyle Spaans}
5 \date{May 6, 2009}
6 \title{Calculus 3 Lecture Notes}
7 \begin{document}
8 \maketitle
10 \section*{Lecture 2 -- Various 3D Drawings}
11 There are a bunch of quadractic surfaces we can get: ellipsoid, cylinder,
12 hyperboloid (one sheet''), cone, hyperboloid (two sheets''), up/down
13 elliptic paraboloid. To visualize these, look up Interactive Gallery of
16 \paragraph*{Example 1}
17 Consider a function
18 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + l \frac{z^2}{c^2} = k$
19 Let
20 $z = k \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = l - \frac{k^2}{c^2}$
21 from which we expect to want positive values on the right-hand-side,
22 $\|k\| \le c$. This gives us an ellipse, so the level curves'' will be in
23 the form of an ellipse. And if we turn the crank on $x = k$ and $y = k$ the
24 picture the z-axis as well to get full
25 3D, we can something that's an ellipse from all angles.
26 $\frac{x^2}{a^2(1 - \frac{k^2}{c^})} + \frac{y^2}{b^2(1 - \frac{k^2}{c^})}$
28 \paragraph*{Example 2}
29 $y = x^2$
30 On a plane, this is a parapola. In 3D we assume this parapola $\forall z$,
31 giving us a parabolic surface. Think of a folded piece of paper.
33 \paragraph*{Example 3 - Hyperbolic Paraboloid (saddle surface)}
34 $z = \frac{-x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$
35 As always, set $z = k$, $\displaystyle \frac{-x^2}{ka^2} + \frac{y^2}{kb^2} = 1$.
36 To rearrange this to get something easier to work with:
37 $\displaystyle \frac{y^2}{kb^2} + \frac{x^2}{ka^2} \Rightarrow 38 y = \pm \frac{bx}{a}$
39 So this is an asymptotic X'' graph, with hyperbolas. This happens in two
40 planes, one with horizontal hyperbolas, and one with vertical. Next, let $x = k$,
41 giving a vertically shifted parabola, opening upwards:
42 $z = \frac{-k^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$
43 and $y = k$, a downward facing, vertically shifted parabola:
44 $z = \frac{-x^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}$
45 We can't be expected to visualize the saddle surface given this, but none the
46 less we will need to do this on assignments.
48 \subsection*{Useful Inequalities}
49 \begin{itemize}
50 \item $\mid x + y\mid \le \mid x\mid + \mid y\mid$
51 \item $\mid x - y\mid \le \mid x\mid + \mid y\mid$
52 \item $\mid x\mid - \mid y\mid \le \mid x\mid \pm \mid y\mid$
53 \item $\mid y\mid - \mid x\mid \le \mid x\mid \pm \mid y\mid$
54 \item $\mid a\mid < b \Rightarrow -b < a < b$
55 \item $\mid a\mid < b \Rightarrow -b < a < b$
56 \item $\mid ab\mid = \mid a\mid \cdot \mid b\mid$
57 \item $\mid \frac{a}{b}\mid = \frac{\mid a\mid }{\mid b\mid }$
58 \item $a < b$ does not imply $a^2 < b^2$
59 \item Given $0 < x < 1$, if $x^p < x^q \Rightarrow p > q$
60 \end{itemize}
62 \end{document}