1 \documentclass{article}
2 \usepackage{fullpage}
3 \usepackage{amsmath}
4 \author{Kyle Spaans}
5 \date{May 8, 2009}
6 \title{Calculus 3 Lecture Notes}
7 \begin{document}
8 \maketitle
10 \section*{Lecture 3 -- Limits}
11 Limits in two variables. We have the standard definition from \emph{Calculus 1}
12 To generalize to more variables, use the formular for Euclidean distance:
13 $\| \vec{x} - \vec{x_0} \| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$
14 So using this in our limit definition:
15 $\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \mathrm{such that} \, 16 \forall x, y \| \vec{x} - \vec{x_0} \| < \delta 17 \Rightarrow \mid f(\vec{x}) - L \mid < \epsilon \, \mathrm{and} \, 18 \vec{x} = (x,y), \vec{x_0} = (x_0, y_0)$
19 If you picture this in 2D, we have a circular area around the points $\vec{x}$
20 and $f(\vec{x})$ of radii $\epsilon$ and $\delta$, respectively. These are called
21 the neighbourhoods of the points.
23 When limits don't exist, there are three possible cases:
24 \begin{itemize}
25 \item Value goes to infinity ($\displaystyle \frac{1}{x}$ as $x \to 0$)
26 \item Periodic functions (trigonometric functions)
27 \item Two different limits from two sides (discontinuities)
28 \end{itemize}
30 Some simple examples in two variables:
31 \paragraph*{Example 1}
32 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1 + x^2y^6}{3 + x + x^3} = \frac{1}{3}$
33 found by direct substitution
35 \paragraph*{Example 2}
36 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 + x + y}{xy^3} = \infty$
38 \paragraph*{Example 3}
39 Cases with $\displaystyle \frac{0}{0}$ or $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$.
40 $f(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, 41 \lim_{(x,y) \to (0,0)}$
42 We will prove by contradiction that this limit does not exist. Consider first
43 the case were we get $\displaystyle \frac{0}{0}$. Fix $x = 0$ and let
44 $y \to 0$, the limit of this is clearly $-1$. Conversely when we fix $y = 0$
45 and let $x \to 0$ we get a limit of $1$ by l'H\^opital's Rule. Because these
46 values are different, the limit does not exist.
48 \paragraph*{Example 4}
49 $f(x,y) = \frac{x^4y^4}{(x^4 + y^2)^3}, \, x,y \neq 0, 50$
51 When $x = 0$ we get a limit of $0$. Similarly for $y = 0$. So we can't find
52 a contradiction yet. What if we approach $(0,0)$ from an arbirary line rather
53 than one of the axes? Let $y = mx$ giving
54 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^4(mx)^4}{(x^4 + (mx)^2)} 55 = \lim_{x \to 0} \frac{m^4x^2}{(x^2 + m^2)^3} = 0$. So we don't know
56 any more information. We can find a contradition if try try letting $y = mx^2$,
57 approaching $(0,0)$ from an arbitrary parabola. Solving that equation gives us
58 $\displaystyle \frac{m^4}{(1 + m^2)^3} \neq 0$, which leads to a condradiction,
59 hence the limit does not exist.
61 So we can see that this approach isn't good for finding limits. It is also not
62 incredibly useful for proving that limits exist as well. We need to figure out
63 when to stop, and figure out strategies for different approaches to the problem.
65 \end{document}