1 \documentclass{article}
2 \usepackage{fullpage}
3 \usepackage{amsmath}
4 \author{Kyle Spaans}
5 \date{July 15, 2009}
6 \title{Calculus 3 Lecture Notes}
7 \begin{document}
8 \maketitle
10 \section*{Lecture 30 -- Change of Variables in Double Integrals}
11 $\iint \limits_{D_{xy}} \! f(x,y) \, dA$
12 Why do we want to change the variables? Two reasons: $f(x(u,v),y(u,v))$ is
13 sometimes easier to integrate, and $D_{uv}$ can be easier to derive than
14 $D_{x,y}$.
16 \paragraph*{Example 1}
17 Change $\displaystyle \iint \limits_D \! f(x,y) \, dx \, dy$ into polar
18 coordinates. Use the Jacobian:
19 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = 20 \left | \begin{array}{cc} 21 x_r & x_{\theta} \\ 22 y_r & y_{\theta} 23 \end{array} \right | = 24 \left | \begin{array}{cc} 25 \cos \theta & -r \sin \theta \\ 26 \sin \theta & r \cos \theta 27 \end{array} \right |$
28 giving $r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta -r$ to get
29 $\iint \limits_{D_{xy}} \! f(x,y) \, dx \, dy = 30 \iint \limits_{D_{r \theta}} \! f(x(r,\theta),y(r,\theta)) r \, dr \, 31 d\theta$
33 \paragraph*{Example 2}
34 Use the polar coordinates to calculate the volume of a sphere of radius $R$. We
35 know the centre of the sphere is at $(0,0,0)$ (for simplicity). Let's calculate
36 only the upper half of the volume (doable because the shape is symmetric) and
37 multiply the volume by 2.
38 $V = 2 \iint \limits_{z \ge 0} \! f(x,y) \, dx \, dy$
39 We know that $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ means that $f(x,y) = z = \sqrt{R^2 - x^2 - 40 y^2}$. Substitute in polar coordinates to get $\sqrt{R^2 - r^2 \cos^2 \theta - 41 r^2 \sin^2 \theta} = \sqrt{R^2 - r^2}$.
42 $V = 2 \int_0^R \int_0^{2\pi} \! \sqrt{R^2 - r^2} r \, dr \, d\theta$
43 We get the new change-of-variables $D$ from $0 \le r \le R$ and $0 \le \theta 44 \le 2\pi$. Since $r$ does not depend on $\theta$, and vice-versa, the order of
45 integration is not important. Let's integrate $r$ first:
46 $2 \left. \int_0^{2\pi} (R^2 - r^2)^{\frac{3}{2}} \frac{2}{3} \frac{-1}{2} 47 \right |_0^R \, d\theta$
48 $2 \left. \int_0^{2\pi} (R^2)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3}\, d\theta = 2R^3 \theta 49 \right |_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3} R^3$
51 \subsection*{Tips for changing variables}
52 \begin{enumerate}
53 \item Substitute $r,\theta \rightarrow x,y$
54 \item Dont't forget $r$, the Jacobian when changing variables
55 \item Change the limits too
56 \end{enumerate}
57 \end{document}