author Kyle Spaans Sun, 5 Jul 2009 00:51:37 +0000 (20:51 -0400) committer Kyle Spaans Sun, 5 Jul 2009 00:51:37 +0000 (20:51 -0400)
 lec25-0703.tex [new file with mode: 0644] patch | blob

diff --git a/lec25-0703.tex b/lec25-0703.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..4e01f6f
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,145 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{amsmath}
+\author{Kyle Spaans}
+\date{July 3, 2009}
+\title{Calculus 3 Lecture Notes}
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Lecture 25 -- Linear Approximation of a Mapping}
+We have a mapping $F: R^2 \rightarrow R^2$, or $(u,v) = \vec{F}(f(x,y),g(x,y))$.
+Therefore a point $(x,y)$, in a 2D plane gets mapped to another $(u,v)$ in a
+different 2D plane. What if we move a distance $(\Delta x, \Delta y)$ to
+$(x + \Delta x, y + \Delta y)$, where is the corresponding point
+$(u + \Delta u, v + \Delta v)$? If's possible that if we apply $F$ to the shift
+in coordinates that we will get something crazy like a curve, rather than a
+line.
+
+\subsection*{Linear Approximation}
+Recall the linear approximation
+$f(\vec{x}) \approx L_{\vec{a}}(\vec{x}) = f(\vec{a}) + f_x(\vec{a})(x - a) ++ f_y(y - b)$
+We assume that $L_{\vec{a}}(\vec{x})$ is a good approximation to $f(\vec{x})$
+near $\vec{a}$ (and that the partials $f_x(\vec{a})$ and $f_y(\vec{a})$ are
+continuous). If this is true, we can say that
+\begin{eqnarray*}
+\Delta u &=& u(a + \Delta x, b + \Delta y) = u(a,b) \approx
+L_{\vec{u},\vec{a}}(a + \Delta x, b + \Delta y) - u(a,b) \\
+ &=& f(a,b) + f_x(a,b)(a + \Delta x - a) + f_y(a,b)(b + \Delta y - b) -
+f(a,b) \\
+ &=& f_x(a,b) \Delta x + f_y(a,b) \Delta y
+\end{eqnarray*}
+Similarly, $\Delta v = g_x \Delta x + g_y \Delta y$. We can represent this with
+a matrix!
+$+\left ( +\begin{array}{c} +\Delta u \\ +\Delta v +\end{array} +\right ) += +\left ( +\begin{array}{cc} +f_x & f_y \\ +g_x & g_y +\end{array} +\right ) +\left ( +\begin{array}{c} +\Delta x \\ +\Delta y +\end{array} +\right ) +$
+This matrix has a special name, we call it the \textbf{Jacobian Matrix}, or
+just the Jacobian (named after Jacoby, represented with $J$, the course notes
+use $DF$). It is analogous to $f'$ for $f(x)$ or $\nabla f$ for $f(x,y)$.
+
+\paragraph*{Example 1}
+A mapping $F$ is defined $F(x,y) = (2xy, x^2 - y^2)$. Find the approximate
+image of $(0.9, 2.1)$. \\
+A nearby point that's convenient is $(1,2)$, we start by finding the image of
+this point.
+$F(1,2) = (4,-3)$
+Then we need to find $\Delta u$ and $\Delta v$, evaluated at our chosen point.
+The $\Delta x$ and $\Delta y$ are just the difference between our chosen
+point and the one whose image we are trying to find.
+$+\left ( +\begin{array}{c} +\Delta u \\ +\Delta v +\end{array} +\right ) += +\left ( +\begin{array}{cc} +2y & 2x \\ +2x & -2y +\end{array} +\right ) +\left ( +\begin{array}{c} +\Delta x \\ +\Delta y +\end{array} +\right ) += +\left ( +\begin{array}{cc} +4 & 2 \\ +2 & -4 +\end{array} +\right ) +\left ( +\begin{array}{c} +-0.1 \\ +0.1 +\end{array} +\right ) +$
+This gives $\Delta u = -0.4 + 0.2$, $\Delta v = -0.2 - 0.4$. We can now
+calculate the approximate image as $(u + \Delta u, v + \Delta v)$:
+$(4 - 0.2, -3 - 0.6) = (3.8, -3.6)$
+
+\subsection*{Composite Mapping and the Chain Rule}
+This is the same as the linear approximation mapping, but we use the Chain Rule
+to compute the derivative. It's the same thing, it can just get more
+complicated with more variables. The composite mapping is given as two mappings,
+$F: p = p(u,v), q = q(u,v)$ and $G: u = u(x,y), v = v(x,y)$. So the mapping
+$F \circ G$ is defined by $p = p(u(x,y),v(x,y)), q = q(u(x,y),v(x,y))$.
+
+Question: Determine $D(F \circ G)$ in terms of $DF$ and $DG$. It's $DF \cdot +DG$. Just like the chain rule. Using the Jacobian, we can guess the answer
+$+\left ( +\begin{array}{cc} +\frac{\partial p}{\partial x} & \frac{\partial p}{\partial y} \\ +\frac{\partial q}{\partial x} & \frac{\partial q}{\partial y} +\end{array} +\right ) += +\left ( +\begin{array}{cc} +\frac{\partial p}{\partial u} & \frac{\partial p}{\partial v} \\ +\frac{\partial q}{\partial u} & \frac{\partial q}{\partial v} +\end{array} +\right ) +\cdot +\left ( +\begin{array}{cc} +\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ +\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} +\end{array} +\right ) +$
+Keep in mind this is just a guess. How do we know if it's true? We can use the
+Chain Rule on $p(u(x,y),v(x,y))$ to get
+$\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial u} +\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial v} +\frac{\partial v}{\partial x}$
+(assuming that all partials are continous, we can do similarly for the other
+components)
+\end{document}